友情提醒:本文有点长,近3000字,分两部分发出。这是第二部分。
三、三角函数定义的拓展,归纳公式
上面三角函数的定义是针对锐角的。其实这个定义可以扩展到任何角度。
设任意角为β,锐角为α,则β角总会变成下列形式之一:
β=2kπ α,β=3π/2 α,β=π α,β=π/2 α
其中k是A点的圈数,A点可以逆时针旋转,也可以顺时针旋转,所以k可以是正的,也可以是负的,k = 0,1,2,…,也就是k ∈ z。
1.负角的三角函数(β =-α),如图7所示。
图7图7
从图7可以看出,半径OA在X轴上的投影X与X重合,在Y轴上的投影Y为负,其大小等于Y..然后是归纳公式(1)
2.β=2kπ+α的三角函数,如图8所示,就是k=2的情况。
无论圆周上的A点绕O点转多少圈,只要终端边OA在同一位置,这些角的三角函数就保持不变。即诱导式(II)
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot (2kπ+α)= cotα
3.β = π+α的三角函数,如图9所示。
从图9可以看出,半径OA在X和Y轴上的投影都是负的,但是它们的大小与半径OA的投影相同。然后是归纳公式(3)
正弦(π+α)=-正弦α
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
4.β=π/2+α的三角函数,如图10所示。
从图10可以看出,半径OA在X轴上的投影X为负,其大小等于y;OA撇号在y轴上的投影为正,大小等于x,然后就是归纳公式(4)
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
5.以上四组归纳公式是三角函数的基本公式,你一定要根据附图熟练掌握。
对于其余的三角函数β=2kπ-α,β = 3π/2 α,β = π-α,β=π/2-α,可以从上述四组归纳公式推导出来,无需死记硬背。
(1)归纳公式(5):β= 2kπ-α的三角函数。
角度2kπ-α可视为2kπ+(-α),可将公式(2)和(1)一起使用得到。
sin(2kπ-α)= sin(2kπ+(-α))= sin(-α)=-sinα
其他功能都比葫芦画瓢强。
cos(2kπ-α)=cosα
tan(2kπ-α)=-tanα
cot(2kπ-α)=-cotα
(2)归纳公式(6):β=π-α的三角函数。
根据β=2kπ-α的惯例,用归纳公式(3)进行类比。
正弦(π-α)=正弦α
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-coα
(3)归纳公式(7):β=π/2-α的三角函数。
根据β=2kπ-α的惯例,归纳公式(4)等等。
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)= sinα
tan(π/2-α)= cotα
cot(π/2-α)= tanα
(4)归纳公式(8):β= 3π/2α的三角函数。
β = 3 π/2 α视为β = π+(π/2 α),π/2 α可视为锐角,故可应用诱导式(3),再用相应的诱导式(4)和(7)。
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α) =-cosα
cos(3π/2-α) =-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)= tanα
从上面的讨论可以看出,在归纳公式中,角度α不一定是锐角,可以是任意角度。
第四,利用平面直角坐标系可以直观地判断正、负三角函数。
1.正负三角函数
(1)在平面直角坐标系的第一象限,参考图11,OA的投影x和y为正。
所以根据定义,sinα,cosα,tanα,cotα的值都是正的。
(1)在平面直角坐标系的第二象限,参考图12,OA的投影X为负,Y为正。
所以sinα为正,而cosα、tanα、cotα都为负。
(1)在平面直角坐标系的第三象限,参考图13,OA的投影x和y都为负。
所以sinα和cosα为负,tanα和cotα为正。
(1)在平面直角坐标系的第四象限,参考图14,OA的投影X为正,Y为负。
所以cosα为正,而sinα,tanα,cotα都为负。
三角函数值的正负规律总结如下(图15):
Sinα在一两个象限为正,在三四个象限为负;
余弦函数sinα在四个象限为正,在两个或三个象限为负;
正切和余切函数tanα和cotα在一到三个象限中为正,在二到四个象限中为负。
由于以上内容公式较多,如有错误请指正。
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