余切函数

友情提醒:本文有点长，近3000字，分两部分发出。这是第二部分。

三、三角函数定义的拓展，归纳公式

上面三角函数的定义是针对锐角的。其实这个定义可以扩展到任何角度。

设任意角为β，锐角为α，则β角总会变成下列形式之一:

β=2kπ α，β=3π/2 α，β=π α，β=π/2 α

其中k是A点的圈数，A点可以逆时针旋转，也可以顺时针旋转，所以k可以是正的，也可以是负的，k = 0，1，2，…，也就是k ∈ z。

1.负角的三角函数(β =-α)，如图7所示。

图7图7

从图7可以看出，半径OA在X轴上的投影X与X重合，在Y轴上的投影Y为负，其大小等于Y..然后是归纳公式(1)

2.β=2kπ+α的三角函数，如图8所示，就是k=2的情况。

无论圆周上的A点绕O点转多少圈，只要终端边OA在同一位置，这些角的三角函数就保持不变。即诱导式(II)

sin(2kπ+α)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα

cot (2kπ+α)= cotα

3.β = π+α的三角函数，如图9所示。

从图9可以看出，半径OA在X和Y轴上的投影都是负的，但是它们的大小与半径OA的投影相同。然后是归纳公式(3)

正弦(π+α)=-正弦α

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

4.β=π/2+α的三角函数，如图10所示。

从图10可以看出，半径OA在X轴上的投影X为负，其大小等于y；OA撇号在y轴上的投影为正，大小等于x，然后就是归纳公式(4)

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

5.以上四组归纳公式是三角函数的基本公式，你一定要根据附图熟练掌握。

对于其余的三角函数β=2kπ-α，β = 3π/2 α，β = π-α，β=π/2-α，可以从上述四组归纳公式推导出来，无需死记硬背。

(1)归纳公式(5):β= 2kπ-α的三角函数。

角度2kπ-α可视为2kπ+(-α)，可将公式(2)和(1)一起使用得到。

sin(2kπ-α)= sin(2kπ+(-α))= sin(-α)=-sinα

其他功能都比葫芦画瓢强。

cos(2kπ-α)=cosα

tan(2kπ-α)=-tanα

cot(2kπ-α)=-cotα

(2)归纳公式(6):β=π-α的三角函数。

根据β=2kπ-α的惯例，用归纳公式(3)进行类比。

正弦(π-α)=正弦α

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-coα

(3)归纳公式(7):β=π/2-α的三角函数。

根据β=2kπ-α的惯例，归纳公式(4)等等。

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)= sinα

tan(π/2-α)= cotα

cot(π/2-α)= tanα

(4)归纳公式(8):β= 3π/2α的三角函数。

β = 3 π/2 α视为β = π+(π/2 α)，π/2 α可视为锐角，故可应用诱导式(3)，再用相应的诱导式(4)和(7)。

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α) =-cosα

cos(3π/2-α) =-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)= tanα

从上面的讨论可以看出，在归纳公式中，角度α不一定是锐角，可以是任意角度。

第四，利用平面直角坐标系可以直观地判断正、负三角函数。

1.正负三角函数

(1)在平面直角坐标系的第一象限，参考图11，OA的投影x和y为正。

所以根据定义，sinα，cosα，tanα，cotα的值都是正的。

(1)在平面直角坐标系的第二象限，参考图12，OA的投影X为负，Y为正。

所以sinα为正，而cosα、tanα、cotα都为负。

(1)在平面直角坐标系的第三象限，参考图13，OA的投影x和y都为负。

所以sinα和cosα为负，tanα和cotα为正。

(1)在平面直角坐标系的第四象限，参考图14，OA的投影X为正，Y为负。

所以cosα为正，而sinα，tanα，cotα都为负。

三角函数值的正负规律总结如下(图15):

Sinα在一两个象限为正，在三四个象限为负；

余弦函数sinα在四个象限为正，在两个或三个象限为负；

正切和余切函数tanα和cotα在一到三个象限中为正，在二到四个象限中为负。

由于以上内容公式较多，如有错误请指正。