欧拉的函数

你好！

欧拉公式二！

离回家过年的日子越来越近了。我已经记住了我妈妈做的菜。虽然很普通，但是我很喜欢。另外，这几天广州刮风下雨。超模君根本没心思写文章，只想在被窝里好好睡一觉。

然而，哮天又来催稿了(

自从哮天转正后，日子越来越不好过了。

看来还是要写篇文章。

所以今天超模君就给大家讲讲被数学界誉为“数学中的立交桥”的欧拉公式。

说起欧拉公式，很多人应该知道:

这个恒等式也被称为欧拉公式，是数学中最迷人的公式，它连接了数学中几个最重要的数:两个超越数:自然对数的底数e，pi；两个单位:假想单位I和自然单位1；而0，被称为人类的伟大发现之一。数学家评价它是“上帝创造的公式”。

这里我们把复变函数中的欧拉公式称为欧拉公式I(至于为什么这么叫，都是因为欧拉太厉害了)。

原来，数学领域的超级大牛欧拉不仅在复变函数领域发现了被誉为“数学中的立交桥”的公式，还在初等数论、三角形、拓扑学中发现了一些极其有价值的公式。但似乎数学界也没想到区分欧拉在不同领域的成就，所有的公式都被统称为“欧拉公式”。你说的“欧拉公式”不是我说的“欧拉公式”。

欧拉公式I是一个复变函数，因其元素的特殊性而备受关注。连哮天都知道，数学中最美的公式是欧拉公式。

当我把拓扑学中的“欧拉公式”(我们称之为欧拉公式II)扔给哮天的时候:什么？欧拉公式怎么会长这样？

哮天:快把我最美的配方还给我！！！

超模君(一脸厌恶的表情，在追求真实中总会遇到一些xxx):。。

今天超模君要讲的故事的主角是:欧拉公式二。

在任何一个正则球面图上，如果用F记录区域(一般来说是面)的个数，用V记录顶点的个数，用E记录边界(也就是边)的个数，那么V- E+F= 2，这就是欧拉定理。

顶点的英文:Vertical。

英语为edge(或Edge)

英语中的Face:脸。

真的，这也是欧拉公式。

虽然我们称之为欧拉公式，但是笛卡尔第一个证明了欧拉公式的成立，然后就轮到欧拉了。但第一个真正给出严格证明的是20岁的柯西。

来自百度百科的证明过程：从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)

抱歉，百度百科的这个解释我实在看不懂。如果有模友能解释清楚，记得留言，也可以去百度百科修改这个内容。

由于没有办法像欧拉、柯西这样的数学家一样思考这个问题，不聪明的超模只能用最笨的方法一个个计算多面体。

(大脑正在加载。gif)

是不是很神奇，是不是很刺激，我们推导出了一个定理。

但是有一个问题，为什么都是正多边形，其他的就不行？

好吧，我们再试一次。为了更容易理解，超模君选择在立方体上多加一条线。

(这个豆腐有点渣渣。)

惊喜！在立方体的一个面上加对角线，在加线的同时，立方体的一个面也被一分为二。此时欧拉公式仍等于2，欧拉公式成立。

也就是欧拉公式对三维图形成立！

咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚，咚。

(可以发挥你的想象力)

其实这还是一个二十面体。在保持相同数量的面和边的同时，这个二十面体选择将两个顶点合并为一个。

好难过！也就是说，欧拉公式变成:

V – E + F = 1

欧拉公式错了吗？

是的，数学家发现这个问题后，引入了一个新的概念:欧拉特征χ(说实话，超模君也是第一次看到)。

F + V -E = χ

此时欧拉公式V-E+F不仅可以等于2和1，还可以等于其他值。

无奖问答:你认为莫比乌斯环的欧拉特征应该是什么样的？

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