作者|民间数学家
来源|民间的职业数学家
首先，上帝创造的数学公式
1743年，著名数学家欧拉在一篇正式发表的论文中首次得到如下结果。
(欧拉公式)EIT = cost+isint
其中e是自然常数，其值约为2.718；Cos和sin分别是余弦和正弦函数；I是虚数，满足I =-1。当t=π，cos π =-1，sin π = 0时，则上述公式变为
(欧拉公式)eiπ+1=0
第二个公式流传更广，五个最著名的数学常数都聚集在一个简短的公式里:
0，1，I(虚数)，π(圆周率)，e(自然对数)
所以第二个公式也被数学家称为“上帝创造的数学公式”。
第二，解构欧拉公式
让我们看看欧拉公式中的五个常识
0，1，I，π，e
和三个功能。
工厂交货价，成本，原价
其中的0和1就不用说了，我在我们之前的文章《复数——几何直观与代数运算的交响曲》中也讲得很透彻了。圆周率是单位圆(半径为1的圆)周长的一半。还有函数cost和sin t，它们分别表示单位圆周(以原点为中心)上的点的横坐标和纵坐标，该点逆时针偏离(1，0)点弧一个长距离t，
说到自然函数e和指数函数ex，问题就来了。
自然常数e为什么叫自然？
指数函数ex当x是一个有理数时，可以用一个幂和一个开根号来定义。
一般实数有必要用极限定义吗？
欧拉公式中，指数函数ex甚至取x为虚数，那么如何定义呢？
这些问题就是欧拉公式给很多人留下神秘印象的原因。要把欧拉公式和这么多问题解释清楚，应该从哪里入手呢？
第三，起点
我们选择的出发点是幂级数定义的函数E(x)。
这里很多人可能会问:
为什么选择这个幂级数作为起点？
因为只有这样才能最方便有效的理解欧拉公式，请拭目以待！
非常重要的是要注意，这个函数E(x)可以定义为所有复数x。
好了，接下来从这个起点出发，我们推导两个方程(微分方程，泛函方程)和一个共轭方程，这对于我们理解欧拉公式都是非常重要的！
(函数方程)E(x)E(y)=E(x+y)
我们直接推导出这个函数方程:
注意，二项式定理用在了推导的最后一步。其实函数方程就是二项式定理的母函数表达式，换句话说。
函数方程和二项式定理是等价的。
除了二项式定理，还有很多组合恒等式可以写成生成函数的形式。有兴趣的朋友可以自主探索。)
好了，言归正传。如果我们
然后根据函数方程，
E(2)=E(1)E(1)=e2
E(3)=E(2)E(1)=e3
……..
所以E(x)=ex对所有的整数x都成立。根据函数方程
E(1/3)E(1/3)E(1/3)= E(1/2)E(1/2)= E(1)= E
因为E(1/2)和E(1/3)都是正数，所以
E(1/2)=e1/2
E(1/3)=e1/3
可以进一步推导出E(x)=ex对于所有有理数和所有实数(取极限)都成立。所以E(x)是指数函数ex的推广。对于复数x，我们也把E(x)写成ex。例如，企业所得税是:
(微分方程)(ex )’=ex
微分方程可以通过逐项微分得到:
相信很多人都知道e可以用复利来理解:
如果有人借你一万元高利贷，年化利率100%，那么一年结算后你要还他两万元。但如果他半年后结清，就是(1+1/2)万，然后借给你，半年后再结清，就是(1+1/2) 2万= 2.25万。如果四个月结算一次，一年后就是(1+1/3) 3万≈2.37万。如果把一年分成很多，甚至无数个时间段，连续结算复利，最后的结果就是极限。
这个极限也大约等于2.718。也就是说，前一万元会在一年内不断复利，最后变成27180元左右。
另一方面，当x从0到1连续变化时，函数ex的值从1增加到e，ex的微分方程表明，这种增长模式也是以自己的值作为每一时刻的增长率，与上述复利模式相同。所以我们从ex的微分方程可以直观的看到。
e代表单位时间内单位量“自然增长”所获得的量，故称为自然常数。这种自然生长模式在自然界中经常遇到，比如细菌和其他微生物的繁殖。
在讲函数ex的共轭方程之前，我们先来复习一下共轭复数的概念:
复数z=x+yi的共轭复数定义为z=x-yi，对应平面上关于x轴对称的两点。
很容易证明共轭、加法和乘法是可以互换的:
两个共轭复数的乘积正好等于模的平方:
zz=|z|2
(共轭方程)
这个方程的推导也很简单:
共轭方程告诉我们，函数ex在一对共轭复数上的值也是互相共轭的。
四、揭开欧拉公式的神秘面纱
我们现在重新检查欧拉公式。
(欧拉公式)EIT = cost+isint
这个公式的左边是定义在整个实数轴上的复值函数，即对于每个实数t，都有一个唯一的复eit。我们在《复数——几何直觉与代数运算的交响曲》一文中说过，复数与平面上的点是一一对应的。所以如果我们认为数轴是时间上的一条直线，
Eit可以看作是一个粒子在平面上的运动。在t时刻，粒子的位置是eit。
但这个公式的右边也是定义在整个实数轴上的复值函数，也可以看作是一个质点在平面上的运动。正如我们在第一节中所说的，函数cost和sin t分别表示距离单位圆周上(以原点为中心)的(1，0)点弧有一个长距离t的点的横坐标和纵坐标。
也就是说，在时间t，质点在单位圆周上运动了长度为t的距离。换句话说，欧拉公式的右边代表质点以1的匀速绕单位圆逆时针运动。
所以要说明欧拉公式的左eit也代表质点绕单位圆的逆时针匀速圆周运动。先解释一下为什么函数eit的值总是落在单位圆周上。根据ex的共轭方程
根据ex的函数方程
所以eit确实代表了单位圆上质点的运动。如何解释这个运动是逆时针匀速的？我们可以看它的速度矢量，这是eit的导数函数。根据ex的微分方程，我们有
因此，每个时刻的速度矢量是顺时针旋转90度的位置矢量。
所以eit确实代表质点以匀速1绕单位圆逆时针运动。
所以，既然左右函数代表的是同一个运动，欧拉公式自然成立。另外，在时间t=π时，质点刚好通过一个半圆，到达点(-1，0)。那么欧拉公式就变成了
根据ex的函数方程，
使用欧拉公式，这个方程可以写成
你能看出这本质上是三角函数的和差积公式吗？事实上，在欧拉公式的背景下
Ex的函数方程和三角函数的和差积公式是等价的！
第四，从高处看欧拉公式
如上一节所述，欧拉公式可视为单位圆上的匀速圆周运动。现在我们把欧拉公式和函数eit看成是实数轴到单位圆的函数或映射。
直观上，这种映射可以看作是一条围绕一个圆的线。
实际上，实轴和单位圆是最特殊的李群。先简单说明一下，首先实数有加法运算，单位元0，加法运算的逆减法，这些运算可以看作二元光滑(无限可微)函数，一般构成李群的定义。同样，所有模为1的复数(对应单位圆上的点)都有乘法运算，也是可逆的，也有单位元1，也满足光滑条件，所以也是李群。
根据ex的函数方程，
所以函数eit把实数的加法转化为单位圆上的乘法，所以欧拉公式可以理解为两个李群之间的同态，这是李群同态最简单的例子。所谓同态，就是从一个李群到另一个李群的光滑映射，把单位元映射成单位元，把一个李群的运算转化为另一个李群的运算。
从拓扑学的角度来看，欧拉公式所表示的实数轴到单位圆的映射，实际上是单位圆的泛重叠映射。这个泛重叠图说明了单位圆的基本群(一个拓扑不变量)是非凡的，这个事实是代数基本定理拓扑证明的基石。
这种从实轴到单位圆的映射也可以从李代数的角度来理解。此时实轴代表单位圆的切线空。
这种映射可以推广到任何李群和李代数，但我们只提一个简单的推广:行列式不为零的N阶方阵群(运算是矩阵乘法)和N阶方阵李代数。(注意单位圆上的复数可以看作一阶方阵)
此时的映射定义为:
N阶方阵→具有非零行列式的N阶方阵
注意这是指数函数ex的幂级数展开的直接延伸，这也是我们选择ex的幂级数作为起点的另一个原因！
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