作者|民间数学家
来源|民间的职业数学家
首先,上帝创造的数学公式
1743年,著名数学家欧拉在一篇正式发表的论文中首次得到如下结果。
(欧拉公式)EIT = cost+isint
其中e是自然常数,其值约为2.718;Cos和sin分别是余弦和正弦函数;I是虚数,满足I =-1。当t=π,cos π =-1,sin π = 0时,则上述公式变为
(欧拉公式)eiπ+1=0
第二个公式流传更广,五个最著名的数学常数都聚集在一个简短的公式里:
0,1,I(虚数),π(圆周率),e(自然对数)
所以第二个公式也被数学家称为“上帝创造的数学公式”。
第二,解构欧拉公式
让我们看看欧拉公式中的五个常识
0,1,I,π,e
和三个功能。
工厂交货价,成本,原价
其中的0和1就不用说了,我在我们之前的文章《复数——几何直观与代数运算的交响曲》中也讲得很透彻了。圆周率是单位圆(半径为1的圆)周长的一半。还有函数cost和sin t,它们分别表示单位圆周(以原点为中心)上的点的横坐标和纵坐标,该点逆时针偏离(1,0)点弧一个长距离t,
说到自然函数e和指数函数ex,问题就来了。
自然常数e为什么叫自然?
指数函数ex当x是一个有理数时,可以用一个幂和一个开根号来定义。
一般实数有必要用极限定义吗?
欧拉公式中,指数函数ex甚至取x为虚数,那么如何定义呢?
这些问题就是欧拉公式给很多人留下神秘印象的原因。要把欧拉公式和这么多问题解释清楚,应该从哪里入手呢?
第三,起点
我们选择的出发点是幂级数定义的函数E(x)。
这里很多人可能会问:
为什么选择这个幂级数作为起点?
因为只有这样才能最方便有效的理解欧拉公式,请拭目以待!
非常重要的是要注意,这个函数E(x)可以定义为所有复数x。
好了,接下来从这个起点出发,我们推导两个方程(微分方程,泛函方程)和一个共轭方程,这对于我们理解欧拉公式都是非常重要的!
(函数方程)E(x)E(y)=E(x+y)
我们直接推导出这个函数方程:
注意,二项式定理用在了推导的最后一步。其实函数方程就是二项式定理的母函数表达式,换句话说。
函数方程和二项式定理是等价的。
除了二项式定理,还有很多组合恒等式可以写成生成函数的形式。有兴趣的朋友可以自主探索。)
好了,言归正传。如果我们
然后根据函数方程,
E(2)=E(1)E(1)=e2
E(3)=E(2)E(1)=e3
……..
所以E(x)=ex对所有的整数x都成立。根据函数方程
E(1/3)E(1/3)E(1/3)= E(1/2)E(1/2)= E(1)= E
因为E(1/2)和E(1/3)都是正数,所以
E(1/2)=e1/2
E(1/3)=e1/3
可以进一步推导出E(x)=ex对于所有有理数和所有实数(取极限)都成立。所以E(x)是指数函数ex的推广。对于复数x,我们也把E(x)写成ex。例如,企业所得税是:
(微分方程)(ex )’=ex
微分方程可以通过逐项微分得到:
相信很多人都知道e可以用复利来理解:
如果有人借你一万元高利贷,年化利率100%,那么一年结算后你要还他两万元。但如果他半年后结清,就是(1+1/2)万,然后借给你,半年后再结清,就是(1+1/2) 2万= 2.25万。如果四个月结算一次,一年后就是(1+1/3) 3万≈2.37万。如果把一年分成很多,甚至无数个时间段,连续结算复利,最后的结果就是极限。
这个极限也大约等于2.718。也就是说,前一万元会在一年内不断复利,最后变成27180元左右。
另一方面,当x从0到1连续变化时,函数ex的值从1增加到e,ex的微分方程表明,这种增长模式也是以自己的值作为每一时刻的增长率,与上述复利模式相同。所以我们从ex的微分方程可以直观的看到。
e代表单位时间内单位量“自然增长”所获得的量,故称为自然常数。这种自然生长模式在自然界中经常遇到,比如细菌和其他微生物的繁殖。
在讲函数ex的共轭方程之前,我们先来复习一下共轭复数的概念:
复数z=x+yi的共轭复数定义为z=x-yi,对应平面上关于x轴对称的两点。
很容易证明共轭、加法和乘法是可以互换的:
两个共轭复数的乘积正好等于模的平方:
zz=|z|2
(共轭方程)
这个方程的推导也很简单:
共轭方程告诉我们,函数ex在一对共轭复数上的值也是互相共轭的。
四、揭开欧拉公式的神秘面纱
我们现在重新检查欧拉公式。
(欧拉公式)EIT = cost+isint
这个公式的左边是定义在整个实数轴上的复值函数,即对于每个实数t,都有一个唯一的复eit。我们在《复数——几何直觉与代数运算的交响曲》一文中说过,复数与平面上的点是一一对应的。所以如果我们认为数轴是时间上的一条直线,
Eit可以看作是一个粒子在平面上的运动。在t时刻,粒子的位置是eit。
但这个公式的右边也是定义在整个实数轴上的复值函数,也可以看作是一个质点在平面上的运动。正如我们在第一节中所说的,函数cost和sin t分别表示距离单位圆周上(以原点为中心)的(1,0)点弧有一个长距离t的点的横坐标和纵坐标。
也就是说,在时间t,质点在单位圆周上运动了长度为t的距离。换句话说,欧拉公式的右边代表质点以1的匀速绕单位圆逆时针运动。
所以要说明欧拉公式的左eit也代表质点绕单位圆的逆时针匀速圆周运动。先解释一下为什么函数eit的值总是落在单位圆周上。根据ex的共轭方程
根据ex的函数方程
所以eit确实代表了单位圆上质点的运动。如何解释这个运动是逆时针匀速的?我们可以看它的速度矢量,这是eit的导数函数。根据ex的微分方程,我们有
因此,每个时刻的速度矢量是顺时针旋转90度的位置矢量。
所以eit确实代表质点以匀速1绕单位圆逆时针运动。
所以,既然左右函数代表的是同一个运动,欧拉公式自然成立。另外,在时间t=π时,质点刚好通过一个半圆,到达点(-1,0)。那么欧拉公式就变成了
根据ex的函数方程,
使用欧拉公式,这个方程可以写成
你能看出这本质上是三角函数的和差积公式吗?事实上,在欧拉公式的背景下
Ex的函数方程和三角函数的和差积公式是等价的!
第四,从高处看欧拉公式
如上一节所述,欧拉公式可视为单位圆上的匀速圆周运动。现在我们把欧拉公式和函数eit看成是实数轴到单位圆的函数或映射。
直观上,这种映射可以看作是一条围绕一个圆的线。
实际上,实轴和单位圆是最特殊的李群。先简单说明一下,首先实数有加法运算,单位元0,加法运算的逆减法,这些运算可以看作二元光滑(无限可微)函数,一般构成李群的定义。同样,所有模为1的复数(对应单位圆上的点)都有乘法运算,也是可逆的,也有单位元1,也满足光滑条件,所以也是李群。
根据ex的函数方程,
所以函数eit把实数的加法转化为单位圆上的乘法,所以欧拉公式可以理解为两个李群之间的同态,这是李群同态最简单的例子。所谓同态,就是从一个李群到另一个李群的光滑映射,把单位元映射成单位元,把一个李群的运算转化为另一个李群的运算。
从拓扑学的角度来看,欧拉公式所表示的实数轴到单位圆的映射,实际上是单位圆的泛重叠映射。这个泛重叠图说明了单位圆的基本群(一个拓扑不变量)是非凡的,这个事实是代数基本定理拓扑证明的基石。
这种从实轴到单位圆的映射也可以从李代数的角度来理解。此时实轴代表单位圆的切线空。
这种映射可以推广到任何李群和李代数,但我们只提一个简单的推广:行列式不为零的N阶方阵群(运算是矩阵乘法)和N阶方阵李代数。(注意单位圆上的复数可以看作一阶方阵)
此时的映射定义为:
N阶方阵→具有非零行列式的N阶方阵
注意这是指数函数ex的幂级数展开的直接延伸,这也是我们选择ex的幂级数作为起点的另一个原因!
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