三角函数积分公式

#标题创作挑战#

老黄探索了一个与E的ax次方有关的不定积分公式，这里老黄将继续利用分部积分探索另一个与三角函数有关的不定积分公式。

求∫ x n * cosaxdx，n ∈ n *，a ≠ 0。

被积函数由两部分组成，前面是幂函数，指数是正整数，后面是ax的余弦函数。a不等于0。这个公式的推导比上一个稍微难一点。

解法:注意in (k) = ∫ x n * cos (ax+kπ/2) dx。【这是一族关于K的不定积分函数，不同的N有不同的不定积分，不同的K也有不同的不定积分。原不定积分中的Ax以ax+kπ/2的形式变化。为什么要有这样的设计？看完你就明白了。】

in(0)=∫x n * COSA XDX = 1/A *∫x Ndsinax[当k=0时，得到原不定积分]

= 1/a * x n * sinax-1/a * ∫ sinaxdx n【部分积分公式的应用】

= 1/a * x n * sinax+n/a *∫x(n-1)* cos(ax+π/2)dx【只有换成这种形式才能得到递推公式。现在知道老黄为什么前面介绍ax+kπ/2了吧】

=1/a*x^n*sinax+n/a*I_(n-1)(1)

【同理，I _(n-1)(1)= 1/a * x(n-1)* sin(ax+π/2)+(n-1)/a * I _(n-2)(2)代入上式。]

= 1/a*x^n*sinax+n/a*(1/a*x^(n-1)*sin(ax+π/2)+(n-1)/a*i_(n-2)(2))

= 1/a*x^n*sinax+n/a^2*x^(n-1)sin(ax+π/2)+(n(n-1))/a^2*i_(n-2)(2)

=…=∑(I = 0-& gt；n)n！/((n-i)！a^(i+1))*x^(n-i)*sin(ax+iπ/2)+c.

公式极难看清楚，不过没关系。下面老黄有图片给大家展示推导过程的全貌，还有例题和习题演示公式的应用。

让我们看一个应用程序并测试它的正确性。

例如:Find ∫ x 3cos3xdx。[n = a = 3，直接代入公式]

解:原积分=∑(I = 0->；3)3!/((3-i)！* a(I+1))* x(3-I)* sin(ax+Iπ/2)+c[其实这也可以是答案]

=1/3*x^3*sin3x+1/3*x^2*sin(3x+π/2)+2/9*x*sin(3x+π)+2/27*sin(3x+3π/2)+角

= 1/3 * x 3 sin 3 x+1/3 * x 2 * cos3x-2/9 * xsin 3 x-2/27 * cos3x+c【利用三角归纳公式统一各项的形式】

练习:求∫x ^ 5 * cos(x/3)dx。[n = 5，a = 1/3，直接代入公式]

解:原积分=∑(I = 0->；5)5!/((5-i)！*a^(i+1))*x^(5-i)*sin(ax+iπ/2)+c

=3x^5*sin(x/3)+45x^4*cos(x/3)-540x^3*sin(x/3)-4860x^2*cos(x/3)+29160xsin(x/3)+87480cos(x/3)+c.

结果老黄被检验了，是正确的。老黄不知道高数里有没有这个公式，但老黄没见过。给这个公式命名。老黄只是称之为“三角积分公式”。因为老黄还会继续摆弄。老黄觉得这个公式太实用了。